KURZUS: Közlekedésstatisztika

MODUL: III. modul: Indexszámítás

8. lecke: Aggregát típusú indexszámítás

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| a meghatározások közül ki tudja választani az ár-, érték- és volumenindex helyes jelentését; felsorolásból ki tudja választani, mikor használjuk a bázisidőszaki súlyozást; konkrét adatok alapján ki tudja számolni az egyes indexeket és különbségeiket; a kiszámolt adatok alapján ki tudja egészíteni az adatok jelentésére vonatkozó mondatokat.
| Tananyag
| Az index-számítás olyan összehasonlító viszonyszámnak, melyek közvetlenül nem összesíthető mennyiségek, együttes, átlagos változását fejezi ki. A termelés, a szolgáltatás, a kereskedés, a fogyasztás, a felhasználás, mint társadalom-gazdasági kategóriák elemzése, különböző mértékegységben rendelkezésre álló, különbözőminőséget képviselő sokaságok együttes vizsgálatát igényli.
| A dinamikus viszonyszámokkal mindig csak 1-1 termék árának illetve mennyiségének alakulását vizsgáltuk. A gazdasági életben azonban szükség van olyan számításokra, amelyek egyszerre fejezik ki több termék ár- és mennyiségváltozásának hatását, pl. az árbevételre. Erre szolgálnak az indexszámítások. A változást kifejezhetjük mind relatív (I=index), mind abszolút (K=különbség) módon.
| Az összehasonlítás elvégezhető:
| térben: 2 ország vagy két vállalat adatait hasonlítom, időben: 2 év adatait hasonlítom össze.
| Az értékben történő összehasonlítást aggregálásnak, az összesített értékadatokat aggregátumoknak nevezzük.
| Jelölések:
| qi= mennyiség (volumen) pi= ár vi: érték v i= q i * p i i= egyedi indexek k= egyedi eltérések
| Napjainkban nem egyféle árut termelnek és forgalmaznak a vállalkozások, ezért érthető, hogy összevont mutatókkal vizsgálják tevékenységük időbeli alakulását, illetve hasonlítják azt más vállalkozások, területek adataihoz.
| Természetesen az egyedi indexeket is használják, mert az egyes termékek ár, mennyiség és értékváltozását ezek fejezik ki. A termékekre számított egyedi indexek dinamikus viszonyszámok.
| A termékek mennyiségi és árváltozását együtt vizsgálva legegyszerűbben az érték összehasonlításával oldható meg. A különböző termékekből származó bevételek, termelési értékek azonos mértékegységűek, így összesíthetőek, és összehasonlíthatók mind hányados, mind különbség formájában is. A leggyakrabban az időbeli összehasonlítást végezzük.
| 8.1. Értékindex, és értékindex differencia
| A termelés, a forgalom, a fogyasztás értékének együttes, átlagos változását mutatja, vagyis két olyan aggregátum hányadosa, melyek a mennyiségi és az áradatokban is eltérnek egymástól.
| I v = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 0 K v =Σ q 1 * p 1 −Σ q 0 * p 0
| Azaz az értékindex megmutatja, hogy a mennyiség és az ár együttes változása esetén, hogyan változott az érték az összes terméket figyelembe véve (hányszorosára). Az érték különbség (értékindex differencia) pedig azt, hogy mennyivel változott az érték.

|  | Bemutató feladat
| Egy piaci árus forgalma két időpontban
Termékek | 2008. december | 2009. december
Eladott mennyiség | egységár | Eladott mennyiség | egységár
A-termék (db) | 1200 | 20 | 1250 | 25
B-termék (kg) | 250 | 160 | 280 | 210
C-termék(kg) | 700 | 150 | 500 | 280
| 1. Hogyan változott az árbevétel?
| Értékindex és értékindex differencia
| I v = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 0 = 31250+58800+140000 24000+40000+105000 = 230050 169000 =1,3612=136,12% K v =Σ q 1 * p 1 −Σ q 0 * p 0 =230050−169000=61050 F t
| A termelési érték változását természetesen termék fajtánként, dinamikus viszonyszámként, is meghatározhatjuk, amelyeket egyedi értékindexnek nevezünk.
| Az egyedi termékek értékének eltérését mutatja, azaz hogyan változott az adott termékre vonatkozó termelési érték, forgalom a bázisidőszakról a tárgyidőszakra.
| i v = v i 1 v i 0 = q i 1 * p i 1 q i 0 * p i 0 = i q * i p k v = v i 1 − v i 0
| A vizsgált termékek értékének változása részben az árak változásának, részben a mennyiségek változásának köszönhető.

|  | 8.2. Árindex és árindex differencia
| Az árváltozás hatásának vizsgálatakor a mennyiséget állandónak tételezzük fel. Különböző statisztikusok eltérő súlyozást használtak, így a következő módon számolhatunk.
1. | Tárgyévi súlyozás: Paashe-féle árindex: I p 1 = I p P = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 0
2. | Bázisévi súlyozás:Laspeyres-féle árindex: I p 0 = I p L = Σ q 0 * p 1 Σ q 0 * p 0
3. | A két árindex mértani átlaga: Fisher-féle árindex: I p F = I p 1 * I p 0
4. | Eltérések: K p 1 =Σ q 1 p 1 −Σ q 1 p 0 K p 0 =Σ q 0 p 1 −Σ q 0 p 0
| Az árindex kifejezi, hogy hányszorosára változott az érték, csak az árváltozás hatására, az árindex differencia pedig azt, hogy mennyivel változott az érték.
| A képletekben szereplő q0p1 és q1p0 szorzatok összegzéseként kapott értékadatokat fiktív aggregátumoknak nevezzük, mivel ezek a valóságban nem léteznek.

|  | Bemutató feladat
| Folytassuk az előző feladatot!
| Árindex és árindex differencia:
| I p 1 = I p P = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 0 = 230050 1250*20+280*160+500*150 = 230050 144800 =1,5887 I p 0 = I p L = Σ q 0 * p 1 Σ q 0 * p 0 = 1200*25+250*210+700*280 169000 = 278500 169000 =1,6479 I p F = I p 1 * I p 0 = 1,5887*1,6479 =1,6180=161,80%
| K p 1 =Σ q 1 p 1 −Σ q 1 p 0 =230050−144800=85250 F t K p 0 =Σ q 0 p 1 −Σ q 0 p 0 =278500−169000=109500 F t
| Természetesen az árindexet illetve az árváltozásból adódó különbséget is meghatározhatjuk termékenként, ebben az esetben egyedi árindexről illetve egyedi árindex különbségről beszélünk.
| Adott termék árváltozását fejezi ki.
| i p = p i 1 p i 0 k p = p i 1 − p i 0

|  | 8.3. Volumenindex és volumenindex differencia
| Ebben az esetben az árat tekintjük állandónak, így itt is kétféle súlyozás lehetséges.
1. | Tárgyévi súlyozás: Paashe-féle mennyiségindex: I q 1 = I q P = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 1
2. | Bázisévi súlyozás:Laspeyres-féle mennyiségindex: I q 0 = I p L = Σ q 1 * p 0 Σ q 0 * p 0
3. | A két árindex mértani átlaga: Fisher-féle mennyiségindex: I q F = I q 1 * I q 0
4. | Eltérések: K q 1 =Σ q 1 p 1 −Σ q 0 p 1 K q 0 =Σ q 1 p 0 −Σ q 0 p 0
| A volumenindex kifejezi, hogy hányszorosára változik az érték, csak a mennyiségi változás hatására, a volumenindex differencia pedig azt, hogy mennyivel változik az érték. Az egyedi volumindex és egyedi volumenindex különbség is meghatározható termékenként:
| i q = q i 1 q i 0 k q = q i 1 − q i 0
| Ha érték formájában jelenítjük meg mind az árak, mind a mennyiségek változásának hatását, akkor az alábbi összefüggések írhatók fel:
| az ár hatása: q i 1 p i 1 − q i 1 p i 0 q i 0 p i 1 − q i 0 p i 0 a mennyiség hatása: q i 1 p i 1 − q i 0 p i 1 q i 1 p i 0 − q i 0 p i 0
| A mennyiségi változása termékenként: az iq: a termékek mennyiségének relatív változása a kq a termékek eladott mennyiségének abszolút változása

|  | Bemutató feladat
| Folytassuk az előző feladatot!
| Volumenindex és volumen differencia
| I q 1 = I q P = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 1 = 230050 267500 =0,8260
| I q 0 = I p L = Σ q 1 * p 0 Σ q 0 * p 0 = 144800 169000 =0,8568
| I q F = I q 1 * I q 0 = 0,8260*0,8568 =0,8413=84,13%
| K q 1 =Σ q 1 p 1 −Σ q 0 p 1 =230050−267500=−48450 F t K q 0 =Σ q 1 p 0 −Σ q 0 p 0 =144800−169000=24200 F t
| Bemutató feladat
| Az eddig kiszámolt mutatók szöveges elemzése:
| Egy piaci árus árbevételének alakulását vizsgáltuk 2008 és 2009 decemberi adatainak összehasonlításával. Az árak mindhárom termék esetében nőttek, a legnagyobb mértékben a C termék egységára emelkedett 86,67%-kal, a legkisebb mértékben az A termék eladási ára, 25%-kal. A B termék egységára 31255-kal nőtt. Az A termékből az eladott mennyiség csak 4,15%-kal volt több 2009 decemberében, a B termékből azonban 12%-kal adtak el többet. A C termék eladott mennyisége csökkent 2008-hoz képest 28,57%-kal. A fentiek hatására az egyes termékekből származó árbevétel növekedése a B termék esetében a legnagyobb, 47%. A C termék eladásából származó árbevétel 2009-ben 32,33%-kal volt több, mint 2008-ban, az A-termék pedig 30,21%-kal.
| Az egységárak és az eladott mennyiségek változása miatt a kereskedő árbevétele 2009-ben 36,12%-kal volt több mint 2008-ban, ez 61.050 Ft-nak felel meg. Az átlagos árváltozás 61,80%volt, míg az eladott mennyiségek átlagosan 15,78%-kal csökkentek.

|  | 8.4. Indexek közötti összefüggések
| Mivel az ár- és a volumenindex csak az egyik tényező változását fejezi ki, ezért szorzatuk az értékindexet adja, mivel az az ár és a mennyiség együttes változásának a hatását fejezi ki.
| I v = I p 0 * I q 1 = I p 1 * I q 0 = I p F * I q F K v = K p 1 + K q 0 = K p 0 + K q 1
| 8.5. Az indexek átlagformái
| Az indexek nemcsak aggregát formában számíthatók, hanem az egyedi indexek átlagával is. Ilyenkor a súly szerepét az indexben szereplő valamelyik - éppen rendelkezésre álló - aggregátum, illetve annak mennyiségi viszonyszámai töltik be. A súlyozás módja pedig attól függ, hogy az illető aggregátum az index számlálójában vagy nevezőjében foglal helyet.
| Ha csak a bázisidőszaki vagy csak a tárgyidőszaki értékösszeg áll rendelkezésünkre, akkor az indexek átlagformában számíthatóak.
| 8.5.1. Az értékindex átlagformái
| Abban az esetben, ha csak a bázisidőszaki ár és mennyiségi adatok ismertek, illetve az egyes termékcsoportok egyedi értékindexe, akkor az értékindexet számtani átlag formában tudjuk kiszámolni. A súly ebben az esetben a bázisidőszak aggregátuma.
| I v = Σ q 0 p 0 * i v Σ q 0 * p 0
| Ha a tárgyidőszaki ár és mennyiségi adatok ismertek, illetve az egyes termékcsoportok egyedi értékindexe, akkor az értékindexet harmonikus átlag formában tudjuk kiszámolni. A súly ebben az esetben a tárgyidőszak aggregátuma.
| I v == Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 1 i v
| 8.5.2. Az árindex átlagformái
| Hasonlóan az értékindexhez, ebben az esetben is kétféle számítás lehetséges:
| Számtani átlag: I p 0 = Σ q 0 p 0 * i p Σ q 0 * p 0 I p 1 = Σ q 1 p 0 * i p Σ q 1 * p 0 harmonikus átlag formában: I p 0 = Σ q 0 * p 1 Σ q 0 * p 1 i p I p 1 = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 1 i p
| 8.5.3. A volumenindex átlagformái
| A volumenindex is meghatározható mindkét átlagolással.
| Számtani átlag: I q 0 = Σ q 0 p 0 * i q Σ q 0 * p 0 I q 1 = Σ q 0 p 1 * i q Σ q 0 * p 1 harmonikus átlag formában: I q 0 = Σ q 1 * p 0 Σ q 1 * p 0 i q I q 1 = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 1 i q

|  | Bemutató feladat
| Egy vállalkozás kereskedelmi tevékenységére vonatkozó adatok:
Árucsoport | Árbevétel 2007-ben (eFt) | Értékesített mennyiség | Árbevétel
2008-ban a 2007. év %-ában
A | 4.000 | 115,00 | 145,00
B | 9.000 | 110,00 | 125,00
C | 3.000 | 125,00 | 140,00
D | 12.000 | 98,00 | 120,00
| Feladat: Számítsa ki a négy árucsoportra vonatkozóan az érték-, ár- és volumenindexeket!
| A 2007. évi árbevétel a tárgyévi adat, azaz ismert minden árucsoportra a q0p0.
| Az értékesített mennyiségi változás az iq, az árbevétel változása az iv.
| I v = Σ q 0 p 0 * i v Σ q 0 * p 0 = 4000∗1,45+9000∗1,25+3000∗1,40+12000∗1,20 4000+9000+3000+12000 =1,2732=127,32%
| I q 0 = Σ q 0 p 0 * i q Σ q 0 * p 0 = 4000∗1,15+9000∗1,10+3000∗1,25+12000∗0,98 4000+9000+3000+12000 =1,0718=107,18%
| Az egyedi árindexek kiszámíthatók:
| ipA=1,45/1,15=1,26 ipB=1,25/1,1=1,14 ipC= 1,4/1,25=1,12 ipD= 1,2/0,98=1,02
| I p 0 = Σ q 0 p 0 * i p Σ q 0 * p 0 = 4000∗1,26+9000∗1,14+3000∗1,12+12000∗1,02 4000+9000+3000+12000 =1,1036=110,36%
| I q 1 = 1,2732 1,1036 =1,1537 I p 1 = 1,2732 1,0718 =1,1879
| Ezután a Fisher-féle ár- és volumenindex már könnyen meghatározható.

|  | 8.6. Az aggregát indexek használata területi összehasonlítás esetén
| Az aggregát típusú indexeket területi összehasonlításra is használjuk. Azonban csak abban az esetben használhatók, ha:
| Azonos időszakra vagy időpontra vonatkozó adatokat hasonlítunk össze, Az összehasonlítás alapja (bázisa) a vizsgálattól függ, vagy az elemző dönti el. A számszerű eredmények megfogalmazásakor nem használhatók a növekedés vagy csökkenés kifejezések. Helyettük a nagyobb, kisebb, magasabb, eltérő szavak használatosak.
| A területi összehasonlítás speciális esete két ország (eltérő valutájú) adatainak összevetése, elemzése.
| Az értékindexnek nincs jelentése, hiszen különböző pénznem szerepel a számlálóban és a nevezőben. Az ár- és volumenindexnél csak a Fisher-féle képleteket értelmezzük, mivel nagy lehet az eltérés mind az árakban, mind a mennyiségekben. Az árindex jelentése és kifejezési formája megváltozik. Árszínvonalat hasonlítunk összes, így nem lehet százalékos formában felírni, hanem a vizsgált valuták hányadosaként jelenik meg. A valutákat a nemzetközileg megszokott jelekkel használjuk, pl.: a forintot HUF- jelöléssel. A mennyiségi index megőrzi eredeti jelentését, a két ország lakóinak a vizsgált termékekből való fogyasztásának hányadosaként.

|  | Bemutató feladat
| Két ország élelmiszerfogyasztását az alábbi adatok jellemzik
Termék | D ország | G ország
Egy főre jutó fogyasztás | Eladási ár (delta pénznemben) | Egy főre jutó fogyasztás | Eladási ár (gamma pénznemben)
1. termék | 20 | 3 | 40 | 8
2. termék | 30 | 4 | 10 | 9
| Hasonlítsa össze a két ország 1 főre jutó fogyasztásának mennyiségét és a valuták vásárlóerejét. A viszonyítási alap a D ország legyen.
| I q G (G/D)= 40*8+10*9 20*8+30*9 = 410 430 =0,9535
| I q D (G/D)= 40*3+10*4 20*3+30*4 = 160 180 =0,8889
| I q F (G/D)= 0,9535*0,8889 =0,9206=92,60
| A termékek körét vizsgálva az egy főre jutó fogyasztás G-országban 7,4%-kal kevesebb volt, mint D-országban.
| I p G (G/D)= 40*8+10*9 40*3+10*4 = 410 160 =2,5625
| I p D (G/D)= 20*8+30*9 20*3+30*4 = 430 180 =2,3889
| I p F (G/D)= 2,5625*2,3889 =2,4742 G/D
| D ország egy valutájának (delta) vásárlóereje egyenlő 2,4742 gamma valuta vásárlóerejével (G ország valutájával).

|  | 8.7. Indexsorok
| Gyakran nem kettő, hanem több időszak (időpont) adatait kell összehasonlítani. Ekkor minden időszakhoz (időponthoz) ki kell számítani az indexeket. Az így kapott értékek indexsort alkotnak.
| Az összehasonlítástól függően a dinamikus viszonyszámokhoz hasonlóan lehet bázis- és lánc-indexsor. A súlyozás módja szerint az ár- és volumen-indexsor lehet
| Állandó súlyozású indexsor Változó súlyozású indexsor.

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Jelölje meg a helyes állítást!
| Az értékindex az árváltozás hatását fejezi ki.
| Az értékindex az árváltozás és a mennyiségi változás együttes hatását fejezi ki.
| Az értékindex a termékek egységárainak változása miatt bekövetkező árváltozást mutatja.
| 2. Jelölje meg a helyes állítást!
| Az árindex a különböző termékek árváltozását fejezi ki.
| Az árindex a különböző termékek egységárának átlagos változását fejezi ki.
| Az árindex a termékek árbevételének változását mutatja meg.
| 3. Jelölje meg a helyes állítást!
| A bázisidőszaki súlyozást az értékindex számításánál használjuk.
| A bázisidőszaki súlyozást az árindex számításánál használjuk.
| A bázisidőszaki súlyozást csak az árindex számításánál használjuk.
| 4. Jelölje meg a helyes állítást!
| A volumenindex a forgalom értékének változását fejezi ki.
| A volumenindex a mennyiségi változás hatását fejezi ki.
| A volumenindex a termékek árainak változását fejezi ki.
| 5. Az értékindex az alábbi képlettel számítható ki:
| I v = I p F * I q 1
| I v = I p * I q
| I v = I p F * I q F
| I v = I p 1 * I q 1
| 6. Egy farmerruházati bolt a forgalmi adatai
Termék | Eladott mennyiség (db) | Eladási ár (Ft/db)
2008 | 2009 | 2008 | 2009
Nadrág | 700 | 750 | 11.000 | 12.500
Ing | 350 | 320 | 5.800 | 5.900
Dzseki | 200 | 150 | 12.000 | 13.100
| 6/a. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! Az indexek esetében 2 tizedesjegy pontossággal dolgozzon! Az árak átlagosan %-kal emelkedtek. A kereskedelmi egység forgalma %-kal nőtt 2008-ról 2009-re. Az eladott mennyiség átlagosan %-kal csökkent Az árbevétel növekedés Ft.
| 7. Egy vállalat három termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalomról az alábbi adatok ismertek
Termék megnevezése | A forgalom értéke 2009-ben (ezerFt) | A forgalom értékének változása | Az árak változása
2008. évi adatok=100%
A | 4500 | 140% | 136%
B | 2000 | 130% | 140%
C | 3500 | 146% | 120%
Összesen: | 10000 | - | -
| 7/a. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! Az indexek esetében 2 tizedesjegy pontossággal dolgozzon! A vállalat forgalma 2009-ben %-al volt magasabb, mint 2008-ban. Az árak átlagos változása (tárgyidőszaki súlyozással) %. A volumenindex értéke (bázisidőszaki súlyozással) %.
| 8. Két ország élelmiszerfogyasztását az alábbi adatok jellemzik
Termék | A ország | B ország
Egy főre jutó fogyasztás | Eladási ár (alfa font pénznemben) | Egy főre jutó fogyasztás | Eladási ár (béta frank pénznemben)
rák | 3 | 1 | 1 | 8
hal | 0,5 | 5 | 0,4 | 30
| Hasonlítsa össze a két ország 1 főre jutó fogyasztásának mennyiségét és a valuták vásárlóerejét. A viszonyítási alap a B ország legyen.
| 8/a. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! Az indexek esetében 2 tizedesjegy pontossággal dolgozzon! Az egy főre jutó napi hal és rákfogyasztás A országban %-kal magasabb, mint B országban. Egy béta frank vásárlóereje átlagosan alfa fonttal egyenlő.