KURZUS: Közlekedésstatisztika

MODUL: V. modul: Ismérvek közötti kapcsolatok

14. lecke: Korreláció- és Regresszió analízis

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| tudja a korreláció és a regresszió jelentését; tudja a korrelációs együttható által felvehető értékeket; a felsorolásból ki tudja választani a regressziós paraméterek, a relatív hiba és a rugalmassági együttható jelentését; a megadott adatokból ki tudja számolni a regressziós függvény paramétereit, a korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót, a relatív hibát, a rugalmassági együtthatót; értelmezni tudja a kiszámolt értékeket; tudja a hatványkitevős és az exponenciális regresszió jelentését; tudja a nem lineáris regresszió szorosságának mérésére szolgáló mutatót; az adatok alapján ki tudja számolni a hatványkitevős és az exponenciális regressziót; az adatok alapján el tudja dönteni hogy milyen típusú regressziós függvény illeszkedik a legjobban.
| Tananyag
| 14.1. Kétváltozós korreláció-számítás
| A mennyiségi ismérvek között meglévő kapcsolat szorosságát és irányát a korreláció-számítással állapíthatjuk meg.
| Ha a mennyiségi ismérvek között nincs kapcsolat, azaz függetlenek egymástól, akkor a szorosság mérőszáma a korrelációs együttható (r) nullával egyenlő.
| Ha egyértelmű kapcsolat van a két mennyiségi ismérv között, akkor a korrelációs együttható (r) értéke (-1;1) közé esik. Ha a korrelációs együttható pozitív, akkor a két ismérv közötti kapcsolat azt jelenti, hogy az egyik ismérv növekedése maga után vonja a másik ismérv növekedését. Negatív kapcsolat esetén az egyik ismérv növekedése a másik ismérv csökkenését okozza.
| A mennyiségi ismérvek eloszlásainak speciális paramétere a kovariancia, amely az átlagtól való eltérések szorzatának számtani átlaga. Az együttes szóródás nagyságrendjét jellemzi, az előjele pedig kifejezi a kapcsolat irányát.
| C= ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ ) n
| A kovariancia felhasználásával kiszámítható a lineáris korrelációs együttható:
| r= C σ x * σ y
| ahol: C: a kovariancia, σ x : az egyik változó szórása σ y : a másik változó szórása
| Ha a változók szórására nincs külön szükségünk, akkor a korrelációs együttható másképp is kiszámolható:
| r= ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ ) ∑ ( x i − x ¯ ) 2 *Σ ( y i − y ¯ ) 2
| Vagy:
| r= ∑ x i * y i −n* x ¯ * y ¯ ∑ ( x i 2 −n* x ¯ 2 )Σ( y i 2 −n* y ¯ 2 ) = β 1 * σ x σ y
| A korrelációs együttható négyzete a determinációs együttható, amely százalékban adunk meg, és azt fejezi ki, hogy az egyik ismérv hány százalékban befolyásolja a másik ismérv változását.
| R= r 2
| 14.2. Kétváltozós lineáris regresszió-analízis
| Ha két mennyiségi változó közötti függőségi viszonyt valamilyen matematikai képlettel írunk le, akkor regresszió-analízisről beszélünk.
| Az ismérvek közötti függőségi viszonyok feltárásával, az összefüggésekben rejlő tendenciák matematikai függvényekkel történő leírásával a regresszióanalízis foglalkozik.
| A gyakorlati elemző munkában a korreláció- és regresszió-számítást általában együtt, egymást kiegészítve alkalmazzák.
| A regresszió-számítás a statisztikai modellezés egyik egyszerű eszköze, ám egyszerűsége ellenére szinte minden, korábban megismert módszertani elemet felhasznál.
| A regresszió-számításkor általában meg szoktuk különböztetni a két- és a többváltozós eseteket. A kétváltozós regresszióanalíziskor két változó kapcsolatát vizsgáljuk, az x változó az egyik, ez a magyarázó változó, és az y-nal jelölt (eredményváltozó) változó a másik, amelynek alakulását x változó befolyásolja. A regresszió-számítás során feltételezzük, hogy az eredményváltozónk (y) sztochasztikus kapcsolatban áll a magyarázó változóval Y=f(x)
| A regresszió típusának kiválasztásához először ábrázolni kell az adatokat, mivel az ismérvek közötti kapcsolat lényegének megismerésében fontos szerepet játszik a grafikus ábrázolás. Általában pontdiagramot készítünk.
| Ezután meg kell határozni a regresszió típusát, ehhez azonban szükséges az adott terület szakmai ismerete is. Lineáris esetben az alábbi függvényt használjuk:
| A függvénytípus kiválasztásával azonban a regressziós függvény meghatározásának problémája még nincs megoldva. A végtelen sok egyenes közül azt az egyet keressük, amely az összefüggést a lehető legjobban leírja. A függvény paramétereit a legkisebb négyzetek módszere segítségével határozzuk meg, vagyis:
| S= ∑ ( y i − y ′ i ) 2 ⇒minimum .
| Azt a becslőfüggvényt keressük tehát, amelyik a mintabeli és a számított értékek közötti különbségek négyzetösszege minimális. Lineáris összefüggés esetén a függvényünk:
| y= β 0 + β 1 ⋅x vagy y=a+b⋅y
| Ezt behelyettesítve S-egyenletébe a következőt kapjuk:
| S= ∑ ( y i − β 0 − β 1 ⋅x ) 2
| A függvénynek ott van minimuma, ahol a két együttható szerinti parciális differenciahányadosa egyenlő nullával. Az egyenlet levezetéséből azt kapjuk, hogy:
| β 1 = ∑ ( x i − x − ) *( y i − y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 = ∑ x i * y i −n * x ¯ * y − ∑ x i 2 −n* x 2 − β 0 = y − − β 1 * x −
| A β 1 paraméter azt fejezi ki, hogy az x=0 helyen a függvény éppen ezt az értéket veszi fel, ha a nulla szerepel x lehetséges értékei között.
| A β 1 paraméter geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens, regressziós együtthatóként választ ad arra, hogy az x változó egységnyi változása átlagosan mekkora változást okoz az y változóban.
| A kétváltozós kapcsolatok esetében megvizsgáljuk, hogy a becslőfüggvény mennyire közelítette meg a mintabeli tapasztalati értéket. Ezt fejezi ki az (- érték, azaz a reziduális szórás, amelyet a regressziós becslés abszolút hibája is egyben:
| σ e = ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2 = ∑ e i 2 n−2
| Ami tulajdonképpen az xi pontban vett mintabeli yi értékek és az adott xi ponthoz tartozó becsült y'i értékek közötti eltérések négyzetösszegének a gyöke.
| A gyakorlatban kiszámítjuk ennek relatív nagyságát is:
| C V σ e = σ e y − *100
| A relatív hiba kifejezi, hogy a regressziós becslések értékei átlagosan hány százalékkal térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől. Általában jónak mondjuk a becslőfüggvény illeszkedését, ha: C V σ e <10-15%.
| Az eredményváltozó relatív változásának fontos szerepe van a közgazdasági elemzésekben. A relatív változást fejezi ki a rugalmassági együttható:
| E= d y d x * x 0 y 0
| Az x magyarázóváltozó adott értékének 1%-os növekedése átlagosan milyen változást eredményez az y változó értékében. Ez az érték természetesen minden x értékre kiszámítható:
| E= β 1 * x i y i ∧

|  | Bemutató feladat
| Egy 60 fős sokaságra a statisztika írásbeli dolgozatok eredményeit és a felkészülésre fordított idő nagyságát vizsgálva 13 elemű mintát vettek, az alábbi eredményekkel:
| Idő (óra) x változó | Dolgozat eredménye (pont) y váltó | x 2 | x-x átlag | (x-x átlag)2 | (y-y átlag) | (y-y átlag)2 | (x-x átlag)*(y-y átlag)
| 0 | 40 | 0 | -6 | 36 | -28 | 784 | 168
| 1 | 50 | 1 | -5 | 25 | -18 | 324 | 90
| 2 | 48 | 4 | -4 | 16 | -20 | 400 | 80
| 3 | 52 | 9 | -3 | 9 | -16 | 256 | 48
| 4 | 58 | 16 | -2 | 4 | -10 | 100 | 20
| 5 | 66 | 25 | -1 | 1 | -2 | 4 | 2
| 6 | 70 | 36 | 0 | 0 | 2 | 4 | 0
| 7 | 74 | 49 | 1 | 1 | 6 | 36 | 6
| 8 | 72 | 64 | 2 | 4 | 4 | 16 | 8
| 9 | 82 | 81 | 3 | 9 | 14 | 196 | 42
| 10 | 82 | 100 | 4 | 16 | 14 | 196 | 56
| 11 | 93 | 121 | 5 | 25 | 25 | 625 | 125
| 12 | 97 | 144 | 6 | 36 | 29 | 841 | 174
össz. | 78 | 884 | 650 | 0 | 182 | 0 | 3782 | 819
átlag | 6 | 68 |  |  |  |  |  |
| Feladat: számítsuk ki a regressziós függvény paramétereit!
| Először ábrázoljuk az adatokat, és illesszünk rá függvényt
| β 1 = ∑ ( x i − x − ) *( y i − y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 = 819 182 =4,5 β 0 = y − − β 1 * x − =68−4,5*6=41 y ' =41+4,5 x
| β 1 : azok a hallgatók, akik 1 órával többet tanultak, átlagosan 4,5 ponttal jobb eredményt értek el.
| β 0 : akik nem készültek a dolgozatra, azok átlagosan 41 pontos eredményre számíthatnak.
| Ezután összehasonlítjuk a tényeleges és a regresszióval becsült adatokat.
| Az y'-t úgy kapom meg, hogy az egyenletbe (y'=41+4,5x) rendre behelyettesítem az x értékeit. Ezután minden eredeti y-ból kivonom a kiszámított y' értékeit, majd az eredményt négyzetre emelem.
Idő (óra) x változó | Dolgozat eredménye (pont) y váltó | y' | y-y' | (y-y')2
0 | 40 | 41 | -1 | 1
1 | 50 | 45,5 | 4,5 | 20,25
2 | 48 | 50 | -2 | 4
3 | 52 | 54,5 | -2,5 | 6,25
4 | 58 | 59 | -1 | 1
5 | 66 | 63,5 | 2,5 | 6,25
6 | 70 | 68 | 2 | 4
7 | 74 | 72,5 | 1,5 | 2,25
8 | 72 | 77 | -5 | 25
9 | 82 | 81,5 | 0,5 | 0,25
10 | 82 | 86 | -4 | 16
11 | 93 | 90,5 | 2,5 | 6,25
12 | 97 | 95 | 2 | 4
Összesen |  |  |  | 96,5
| σ e = ∑ ( y i − y i ' ) 2 n−2 = 96,5 13−2 =2,96
| C V σ e = σ e y − *100= 2,96 68 *100=4,35%
| A becslőfüggvény illeszkedése jónak mondható.
| r= ∑ ( x i − x − ) *( y i − y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 * ∑ ( y i − y − ) 2 = 819 182*3782 =0,987
| R2=97,45%
| A tanulásra fordított idő 97,45%-ban meghatározza az elért pontszámot.

|  | 14.3. Hatványkitevős regressziós függvény
| Két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat leírására sok esetben nem alkalmas a lineáris függvény. Ha az x változó y változóra gyakorolt hatásának mértéke függ az x változó nagyságától, akkor a lineáris regresszió nem alkalmas az adatok közötti kapcsolat elemzésére.
| Ha a független változó szorzatos növekedésével a függő változó is szorzatosan változik, akkor regressziós függvény az alábbi:
| y= β 0 ⋅ x β 1
| Olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az x és y változók logaritmusai között van lineáris összefüggés.
| β 1 regressziós együttható azt fejezi ki, hogy az x magyarázó változó egységnyi relatív (1%-os) változása mekkora relatív (hány százalékos) változást idéz elő az eseményváltozóban.
| Megoldásához linearizálni kell a regressziós függvényt:
| lg⁡y=lg⁡ β 0 + β 1 ⋅lg⁡x
| Látható, hogy az x és az y változók logaritmusa között lineáris a kapcsolat.
| β 1 = ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) 2 lg⁡ β 0 = lg⁡y ¯ − β 1 * lg⁡x ¯
| Vezessünk be új ismeretleneket:
| lg⁡y=Y ; lg⁡x=X ; lg⁡ β 0 =B
| Így a függvényünk az alábbi:
| Y=B+ β 1 ⋅X
| A regressziós együtthatók így már a tanultak szerint számíthatóak:
| β 1 = ∑ ( X i − X − ) *( Y i − Y − ) ∑ ( X i − X − ) 2 B= Y − − β 1 * X − β 0 = 10 B o
| A paraméterek jelentése:
| A β 0 : ha az x=1része a függvény értelmezési tartományának, akkor van jelentése, azaz az x=1 helyen felvett regressziós érték. A β 1 : a magyarázóváltozó 1%-os változása az eredményváltozásban éppen A β 1 %-os változást okoz. A β 1 együttható elaszticitási (rugalmassági) együttható is egyben, mivel megmutatja, hogy az 1%-kal nagyobb x értékhez hány százalékkal nagyobb vagy kisebb y érték tartozik.
| A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki:
| I= 1- ∑ e i 2 ∑ ( y i - y ¯ ) 2 e i 2 = ( y i - y ∧ i ) 2
| A korrelációs index értéke: 0≤I≤1
| A korrelációs index négyzetét százalékban fejezzük ki.

|  | Bemutató feladat
| Nézzük meg, hogy mennyire van hatással a gyökér súlya a gyökér felületére cukorrépa esetében.
| Először az eredeti adatok logaritmusát kell meghatározni. A továbbiakban ezekkel az értékekkel dolgozunk, azaz X és Y értékei kerülnek a képletekbe.
| gyökér súlya x változó | gyökér felülete y váltó | lgx=X | lgy=Y | X 2 | X-X átlag | (X-X átlag)2 | (Y-Y átlag) | (Y-Y átlag)2 | (X-X átlag)*(Y-Y átlag)
| 26870 | 4472 | 4,429268 | 3,650502 | 19,61841 | 1,461268 | 2,135303 | 1,222502 | 1,494511 | 1,786402
| 15660 | 4152 | 4,194792 | 3,618257 | 17,59628 | 1,226792 | 1,505018 | 1,190257 | 1,416713 | 1,460198
| 6180 | 1728 | 3,790988 | 3,237544 | 14,37159 | 0,822988 | 0,67731 | 0,809544 | 0,655361 | 0,666245
| 2900 | 904 | 3,462398 | 2,956168 | 11,9882 | 0,494398 | 0,244429 | 0,528168 | 0,278962 | 0,261125
| 1500 | 472 | 3,176091 | 2,673942 | 10,08756 | 0,208091 | 0,043302 | 0,245942 | 0,060487 | 0,051178
| 650 | 260 | 2,812913 | 2,414973 | 7,912482 | -0,15509 | 0,024052 | -0,01303 | 0,00017 | 0,00202
| 280 | 48 | 2,447158 | 1,681241 | 5,988582 | -0,52084 | 0,271276 | -0,74676 | 0,557649 | 0,388943
| 130 | 39 | 2,113943 | 1,591065 | 4,468756 | -0,85406 | 0,729413 | -0,83694 | 0,700461 | 0,71479
| 60 | 24 | 1,778151 | 1,380211 | 3,161822 | -1,18985 | 1,41574 | -1,04779 | 1,097861 | 1,24671
| 30 | 12 | 1,477121 | 1,079181 | 2,181887 | -1,49088 | 2,222719 | -1,34882 | 1,819312 | 2,010925
össz. | 54260 | 12111 | 29,68282 | 24,28308 | 97,37557 | 0,002824 | 9,268563 | 0,003085 | 8,081486 | 8,588538
átlag | 5426 | 1211,1 | 2,968282 | 2,428308 |  |  |  |  |  |
| β 1 = ∑ ( X i − X − ) *( Y i − Y − ) ∑ ( X i − X − ) 2 = 8,5885 9,2686 =0,9266 B 0 = Y − − β 1 * X − =2,4283−0,9266*2,9683=−0,3222 β 0 = 10 −0,3222 =0,4762 y ∧ =0,4762* x 0,9266

|  | 14.4. Exponenciális regressziós függvény
| Ha az adatok közötti összefüggést a: y ∧ = β 0 * β 1 x
| Függvénnyel írható le, akkor exponenciális regresszióról beszélünk. Olyan esetekben alkalmazzuk, ha az y változó növekedése arányos az adott helyen felvett x változó értékével. Az exponenciális függvények esetében is igaz, hogy lineáris összefüggés van az eredményváltozó logaritmusa és a magyarázóváltozó között. Hasonlóan a hatványkitevős regresszióhoz, ebben az esetben is visszavezetjük lineáris regresszióra:
| lg⁡ y ∧ =lg⁡ β 0 +x*lg⁡ β 1 Y= B 0 + B 1 *x
| B 1 = ∑ ( x i − x − ) *( Y i − Y − ) ∑ ( x i − x − ) 2 β 1 = 10 B 1 B 0 = Y − − B 1 * x − β 0 = 10 B 0
| A paraméterek jelentése:
| A β 1 regressziós paraméter arra ad választ, hogy az x változó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az y változó értékét.
| A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki:
| I= 1- ∑ e i 2 ∑ ( y i - y ¯ ) 2 e i 2 = ( y i - y ∧ i ) 2
| A korrelációs index értéke: 0≤I≤1
| 14.5. Választás a különböző regressziós egyenlet-típusok közül
| Ugyanarra az adatsorra kiszámolva mindhárom regressziós függvényt, felvetődik a kérdés, hogy melyik jellemzi legjobban a változók kapcsolatát. A függvények kiválasztáshoz az egyenletek illeszkedési módszerét, azaz a legkisebb eltérések-négyzetét használjuk. Az az egyenlet illeszkedik legjobban az adatokra, ahol az ( y i − y ∧ i ) 2 és az ( x i − x ∧ i ) 2 is a legkisebb, illetve ahol a kapcsolat szorosságát kifejező mutató a legnagyobb.

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Jelölje meg a helyes állítást!
| 1/a. A regresszió...
| két ismérv közötti függőségi viszonyt fejez ki.
| két ismérv közötti kapcsolat szorosságát fejezi ki.
| 1/b. A korrelációs együttható értéke csak...
| -1 = r < 1 lehet
| -1 < r = 1 lehet.
| -1 ≤ r ≤ 1 lehet.
| 1/c. Ha a magyarázóváltozó szorzatos növekedésével a függőváltozó is szorzatosan nő, akkora kapcsolat...
| lineáris függvénnyel jellemezhető.
| hatványkitevős függvénnyel jellemezhető.
| exponenciális függvénnyel jellemezhető.
| 1/d. Ha az eredményváltozó növekedése arányos az adott helyen felvett értékével, akkor a kapcsolat...
| lineáris függvénnyel jellemezhető.
| hatványkitevős függvénnyel jellemezhető
| exponenciális függvénnyel jellemezhető.
| 2. Egy tőzsdén bejegyzett társaságokról az alábbi adatokat ismerjük:
Nettó árbevétel | Adózott eredmény
(milliárd forint)
111 | 12,4
31 | 5,2
55 | 5,5
65 | 7,6
14 | 1,6
32 | 4,3
105 | 9,0
82 | 7,8
130 | 10,5
88 | 9,8
28 | 2,0
61 | 3,7
65 | 3,5
98 | 7,6
| 2/a. Számítsa ki a regressziós függvény paramétereit, írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 4 tizedesjegy pontossággal végezze el! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke:
| 2/b Számítsa ki korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót, a regressziós becslés relatív hibáját! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket A számításokat a korrelációs együttható esetében 4 tizedesjegy pontossággal, a többi értéknél 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A korrelációs együttható értéke: A determinációs együttható értéke: %
| 3. 20 vállalkozás adatai alapján vizsgálták az egy főre jutó tárgyi eszközérték (millió Ft)(x) és az egy főre jutó üzemi eredmény (millió Ft) (y) kapcsolatát. A lineárisnak feltételezett kapcsolat elemzéséből az alábbi adatokat ismerjük:
| Az egy főre jutó átlagos tárgy eszközérték: 212,1 millió Ft. Az egy főre jutó átlagos üzemi eredmény: 50,6 millió Ft. A ∑ ( x i − x ¯ ) 2 =85909,8 A ∑ ( y i − y ¯ ) 2 =2540,3 A ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ )=11330,8
| 3/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke:
| 3/b Számítsa ki korrelációs együtthatót, a determinációs együtthatót! A számításokat a korrelációs együttható esetében 4 tizedesjegy pontossággal, a többi értéknél 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A korrelációs együttható értéke: A determinációs együttható értéke: %
| 3/c Vizsgálja meg az üzemi eredmény tárgyi eszközérték szerinti rugalmasságát az átlagos szinten! A számítást 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A rugalmassági együttható értéke:
| 4. 30 véletlenszerűen kiválasztott négytagú aktív keresős háztartás adatai alapján vizsgálták a jövedelem és az üdülésre fordított kiadás nagyságát.
| A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:
| ∑ lg⁡ x i =77,1873 ∑ lg⁡ y i =22,2639 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) =3,4003 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) 2 =2,0633
| 4/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 4 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke:
| 5. Egy zárthelyi dolgozat (maximum 50 pontot lehetett elérni) után felmérést készítettek a hallgatók körében, ki hány órát töltött tanulással. A felmérés során 10 hallgató tanulással töltött ideje és a vizsgán elért pontszámok között különböző regressziós függvények segítségével próbálták megállapítani a kapcsolt meglétét.
| A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:
| ∑ lg⁡ x i =8,279 ∑ lg⁡ y i =13,638 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) =1,1047 ∑ ( lg⁡ x i − lg⁡x ¯ ) 2 =2,0458 ∑ ( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) 2 =0,6654 ∑ ( x i )=105 ∑ ( y i )=271 ∑ ( x i − x ¯ ) 2 =716,5 ∑ ( y i − y ¯ ) 2 =1907 ∑ ( x i − x ¯ )*( y i − y ¯ )=1107,5 ∑ ( x i − x ¯ ) *( lg⁡ y i − lg⁡y ¯ ) =19,483 ∑ e exp. 2 =442,02 ∑ e hatv. 2 =139,36 ∑ e lin. 2 =195,03
| 5/a. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és a korrelációs indexet! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke: A korrelációs index:
| 5/b. Határozza meg a hatványkitevős regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 2 tizedesjegy pontossággal! A β 0 -paraméter értéke: A β 1 -paraméter értéke: A korrelációs index:
| 5/c. Egészítse ki a mondatot a megfelelőszóval! "A tanulásra fordított idő és az elért pontszám kapcsolatát a legjobban a ... regresszióval lehet kifejezni."
| hatványkitevős
| exponenciális.