KURZUS: Közlekedésstatisztika

MODUL: V. modul: Ismérvek közötti kapcsolatok

13. lecke: A sztochasztikus kapcsolatok

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| Felismeri a sztochasztikus kapcsolatokat leíró helyes definíciót. A fogalmakhoz párosítani tudja azok jelentését (asszociáció, vegyes kapcsolat, korreláció) Felsorolásból ki tudja választani, mikor használható a Yule-féle együttható. Felsorolásból ki tudja választani, mikor használható a Csuprov-féle együttható. (Ez a modulzáróban jön elő) Felsorolásból ki tudja választani, mikor használható és milyen formában fejezhető ki a H-mutató. (Ez a modulzáróban jön elő) Felsorolásból ki tudja választani az asszociáció jelentését. Önállóan meg tudja határozni a Yule-féle együttható értékét. A kiszámított adat alapján felsorolásból ki tudja választani két ismérv közötti kapcsolat szorosságát. Megadott adatok alapján ki tudja tölteni a kontingencia-táblázatot. Felsorolásból ki tudja választani a belső szórás fogalmát. Felsorolásból ki tudja választani a H-mutató jelentését. Felsorolásból ki tudja választani a H-mutató lehetséges értékeit. Ki tudja számolni a belső szórást, a külső szórást, a H-mutató és a H2-mutató értékét. Felsorolásból ki tudja választani a H-mutató és a H2-mutató adott értékének jelentését. Felsorolásból ki tudja választani, minek a jellemzésére alkalmas a korrelációs együttható, Listából ki tudja választani a korrelációs együttható lehetséges értékeit, Adott ismérvekről el tudja dönteni, milyen korrelációs együtthatóval jellemezhetők, Ki tudja választani a korrelációszámításra alkalmas feladatokat, ehhez nem találtam kérdést Adott adatsor alapján ki tudja számítani a korrelációs együtthatót. Ki tudja számolni és értelmezni az előjelkorrelációs együtthatót. Ehhez nem találtam kérdést Ki tudja számolni a rangkorrelációs együtthatót.
| Tananyag
| Ha egy sokaságot statisztikai módszerekkel vizsgálunk, akkor többféle szempont (ismérv) alapján is csoportosíthatjuk (pl. a hallgatókat: nem, magasság, tanulmányi átlag, stb.). A különféle csoportosításokkal kapcsolatban feltehető a kérdés, hogy mutatnak-e ezek hasonlóságot, azonosságot, vagy teljesen más jellegűek. Ha a vizsgált sokaság különböző ismérvek alapján feltáruló szerkezete hasonlóságot, azonosságot mutat, akkor ismérvek közötti kapcsolatról beszélünk. Ez a kapcsolat lehet:
| sztochasztikus jellegű: statisztikai valószínűségen alapuló, teljes meghatározottságú: pl. a születési év és az életkor között.
| Sztochasztikus (valószínűségi) kapcsolatnak nevezzük az olyan összefüggést, amikor az egyik jelenség egy másik jelenségre hatással van, de nem határozza meg egyértelműen annak alakulását, mert arra más tényezők is hatnak.
| Két minőségi ismérv (pl. iskolai végzettség és beosztás), vagy két területi ismérv (születési hely és lakhely), vagy egy minőségi és egy területi ismérv (választott szak és a gyakorlati hely) közötti kapcsolat elemzésére szolgál. Az említett esetekben nem számadatokkal megfogalmazható ismérvek alapján történt a csoportosítás.
| 13.1 Asszociáció
| Az asszociáció (ismérvek közötti kapcsolat) kimutatása érdekében a sokaság elemeit úgynevezett kontingencia táblába rendezzük. Két ismérv esetén a tábla a következő:
Ismérvek | 1 | 2 | Σ
1 | f11 | f12 | f1.
2 | f21 | f22 | f2.
Σ | f.1 | f.2 | n

|  | Bemutató példa
| Egy vállaltnál 50 diplomás dolgozik, és közülük 15 a nő. A középfokú végzettségűek létszáma 150, és ebből 60 a nő. Rendezzük az adatokat táblázatba:
Ismérvek | Diplomás | Középfokú végzettségű | Összesen
Férfi | 35 | 90 | 125
Nő | 15 | 60 | 75
Összesen | 50 | 150 | 200

|  | Kettőnél több ismérvváltozat esetén értelemszerűen több sor vagy oszlop lesz a kontingencia táblázatban.
| Az asszociációs mutatók a következők lehetnek:
| Yule-féle Csuprov-féle Cramer-féle.
| 13.1.1.Yule-féle asszociációs együttható
| Csak alternatív (azaz két ismérv) ismérvek esetén használható. Alapgondolata a függetlenséghez kapcsolódik. Két egymástól független esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő a két esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával:
| f •1 n ∗ f 1• n = f 11 n
| Mivel alternatívak az ismérvek, ezért a függetlenség az alábbi:
| f 11 f 21 = f 12 f 22
| ha f11*f22-f21*f12=0, akkor nincs kapcsolat.
| Minden nullától való eltérés esetén kiszámítható a kapcsolat szorossága.
| a= f 11 ∗ f 22 − f 21 ∗ f 12 f 11 ∗ f 22 + f 21 ∗ f 12 vagy a= g 11 ∗ g 22 − g 21 ∗ g 12 g 11 ∗ g 22 + g 21 ∗ g 12
| −1≤a≤1
| A '0' a kapcsolat hiányát, azaz a függetlenséget jelenti. Az 1 pedig a teljes meghatározottságot. Ha | a |>0,7 , akkor a kapcsolat szorossága már erősnek mondható.

|  | Bemutató feladat
| A hallgatókat a szakterület és a karriercéllal való rendelkezés alapján csoportosítottuk:
szak | Karrier cél
Van | nincs | Összesen
mérnök | 32 | 68 | 100
közgazdász | 22 | 78 | 100
Összesen | 54 | 146 | 200
| 1. Vizsgálja meg, hogy van e kapcsolat a hallgató szakterülete és a karrier céllal való rendelkezés között? 2. Mit jelent a kiszámított mutató?
| a= 32∗78−22∗68 32∗78+22∗68 =0,25
| A vizsgált hallgatói körben a szakterület és a karrier céllal rendelkezés között gyenge kapcsolat van.

|  | 13.1.2. Csuprov-féle asszociációs együttható
| Ha az ismérvváltozatok száma kettőnél több, akkor használjuk. Ez is a függetlenségvizsgálathoz kapcsolódik.
| T= χ 2 n∗ (s−1)∗(t−1)
| T: Csuprov-féle együttható, s: az egyik ismérv változatainak száma t: a másik ismérv változatainak száma n: a sokaság elemszáma
| χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j − f i j * ) 2 f i j * f i j * = f i. ∗ f .j n
| fij: tapasztalati gyakoriság fij*: elméleti gyakoriság
| ha s<t 0≤T≤ s−1 t−1 4
| Ha s=t, akkor T=1, azaz az ismérvek között összefüggés nagyon intenzív. Általában úgy válasszuk meg az ismérvek jelölését, hogy s<t legyen.

|  | Bemutató feladat
| A hallgatókat a szakterület és az oktatással való elégedettség rendelkezés alapján csoportosítottuk:
elégedettség | Szak | Összesen
Mérnök | Közgazdász főisk. | Közgazdász egyetem | jogász
Nem tudja | 69 | 83 | 99 | 53 | 304
Nem elégedett | 12 | 56 | 26 | 5 | 99
elégedett | 19 | 91 | 35 | 42 | 187
Összesen | 100 | 230 | 160 | 100 | 590
| Elméleti előfordulások számítása: f i j * = f i. ∗ f .j n
| f 11 * = 100*304 590 =51,5 f 12 * = 230*304 590 =118,5 f 31 * = 100*187 590 =31,7 stb.
elégedettség | Szak | Összesen
Mérnök | Közgazdász főisk. | Közgazdász egyetem | jogász
Nem tudja | 51,5 | 118,5 | 82,5 | 51,5 | 304
Nem elégedett | 16,8 | 38,6 | 26,8 | 16,8 | 99
elégedett | 31,7 | 72,9 | 50,7 | 31,7 | 187
Összesen | 100 | 230 | 160 | 100 | 590
| χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j − f i j * ) 2 f i j * = (69−51,5) 2 51,5 =5,95
| A χ 2 összetevői:
elégedettség | Szak | Összesen
Mérnök | Közgazdász főisk. | Közgazdász egyetem | jogász
Nem tudja | 5,95 | 10,64 | 3,30 | 0,04 | 19,93
Nem elégedett | 1,37 | 7,840 | 0,02 | 8,29 | 17,52
elégedett | 5,09 | 4,49 | 4,86 | 3,35 | 17,79
Összesen | 12,41 | 22,97 | 8,18 | 11,68 | 55,24
| T= χ 2 n∗ (s−1)∗(t−1) = 55,24 590* (3−1)*(4−1) =0,1955
| Ki kell számolni a T-intervallumát:
| T= 3−1 4−1 4 =0,9036
| azaz, 0≤T≤0,9036
| A szakterület és az oktatással való elégedettség között gyenge a kapcsolat (T=0,1955).

|  | 13.1.3. Cramer-féle asszociációs együttható
| Az asszociációs összefüggések térbeli vagy időbeli összehasonlításakor gondot okozhat, hogy ugyanazon ismérv változatainak száma nem azonos a két helyen vagy a két időpontban (az előző bemutató példában, ha a jogászok nem minden kérdésre válaszolnak). Ilyen esetben a Csuprov-féle asszociációs együttható nem használható az elemzés során, helyette a Cramer-féle asszociációs együtthatót használjuk.
| C= χ 2 n*(s−1)
| 0≤C≤1
| 13.2. Vegyes kapcsolat
| Ha egy vizsgált sokaságot egy mennyiségi ismérv és egy minőségi ismérv alapján is felosztunk, és arra keressük a választ, hogy a két felosztás között, azaz a két ismérv között van-e összefüggés, akkor egy vegyes kapcsolatot elemzünk. A kapcsolat meglétét, vagy annak hiányát a H-mutató segítségével határozhatjuk meg.
| Az összetett sokaságot felosztjuk részsokaságokra, és megvizsgáljuk:
1. | a teljes szórást σ T (az egyedi adatok és a főátlag eltérése).
2. | a külső szórást σ K (a részátlag és a főátlag eltérése).
3. | a belső szórást σ B (az egyedi értékek és a saját részátlaguk eltérése).
| σ T 2 = σ K 2 + σ B 2
| Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy egy vegyes kapcsolat jellemzésére alkalmas mutatót képezzünk:
| H= σ K σ T = 1- σ B 2 σ T 2
| 0≤H≤1
| A kapcsolat jellemzésére a mutató négyzetét is használhatjuk (H2), amelyet százalékos formában adunk meg. A mutató arra ad választ, hogy hány százalékban magyarázza a csoportosító ismérv (minőségi vagy területi) a sokaság mennyiségi ismérv szerinti szóródását.
| H 2 = σ K 2 σ T 2

|  | Bemutató feladat
| A hallgatók szakok szerinti csoportosításban az alábbi eredményt érték el egy vizsgán. A maximálisan elérhető pontszám 100 pont volt.
Szak | Hallgatók száma (fő) | Az elért eredményük átlagpontszáma | Az eredmények szórás
Közgazdász | 20 | 63 | 5,6
Jogász | 30 | 60 | 5,9
Mérnök | 25 | 50 | 6,4
| Számítsa ki az adatok alapján a belső-, a külső és a teljes szórást, majd értelmezze azokat!
| A vizsga átlagpontszáma: x − = ∑ f i x i ∑ f i = 20*63+30*60+25*50 20+30+25 =57,47
| A belső szórásnégyzet: σ B 2 = ∑ n j * σ j 2 n = 20* 5,6 2 +30* 5,9 2 +25* 6,4 2 20+30+25 =35,94
| A belső szórás: σ B = σ B 2 = 35,94 =5,995 .
| A külső szórásnégyzet: σ K 2 = Σ n j * ( x j ¯ − x ¯ ) 2 n = 20* (63−57,47) 2 +30* (60−57,47) 2 +25* (50−57,47) 2 20+30+25 =29,32
| A külső szórás: σ K = σ K 2 = 29,32 =5,415 ,
| A teljes szórásnégyzet: σ T 2 = σ B 2 + σ K 2 =35,94+29,32=65,26
| A teljes szórás: σ= σ 2 = 65,26 =8,078 ,
| H= σ K σ T = 5,415 8,078 =0,6703 H 2 =0,4493=44,93%
| A szak és a vizsgán elért pontszám között közepes erősségű a kapcsolat. A szakterülethez való tartozás 44,93%-ban befolyásolja az elért pontszámok szóródását.

|  | 13.3. Korreláció
| Mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolat számszerű jellemzésével és elemzésével a korrelációszámítás foglalkozik.
| Feladata:
| Megállapítani, hogy a két ismérv között valóban fennáll e a kapcsolat, és ha van kapcsolat, akkor az milyen jellegű. A két ismérv között lévő kapcsolat szorosságának a megállapítása.
| Két mennyiségi ismérv esetén (x;y), a változók közötti kapcsolat erősségét a korrelációs együttható (r) fejezi ki. Értéke -1és +1 között lehet. Ha r negatív, akkor a két változó ellentétes irányban változik.
| 0,9 felett igen szoros 0,7-0,9 szoros 0,6-07 közepes 0,5-0,6 gyenge 0,4 alatt laza
| 13.3.1. Előjel korreláció
| Az összetartozó értékpárok átlagtól való eltérései előjele alapján méri a kapcsolat szorosságát.
| r e = p−q p+q
| ahol p jelenti azoknak az értékpároknak a számát, amelyeknek az átlagtól való eltéréseik előjele megegyezik. ahol q jelenti azoknak az értékpároknak a számát, amelyeknek az átlagtól való eltéréseik előjele eltérő.
| Előnye, hogy kevés számítással, gyorsan tájékozódhatunk két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat meglétéről és annak mértékéről.
| Hátránya azonban, hogy csak "durva" mérőszám, ezért pontosabb elemzéshez nem használható.

|  | Bemutató feladat
| Vizsgáljuk meg, hogy van e összefüggés az egy főre eső GDP (euro) és az 1000 lakosra jutó személygépkocsik számának alakulása között néhány európai ország adatai alapján.
S.szám. | 1 főre jutó GDP Az Eu országaiban | Átlagtól való eltérés előjele | 1000 lakosra jutó személygk. száma | Átlagtól való eltérés előjele
1. | 22380 | + | 412 | +
2. | 20880 | + | 403 | +
3. | 25930 | + | 310 | -
4. | 7290 | - | 170 | -
5. | 2970 | - | 200 | -
6. | 23030 | + | 485 | +
7. | 20460 | + | 521 | +
8. | 7450 | - | 205 | -
9. | 13970 | - | 335 | -
10. | 36080 | + | 449 | +
átlag | 18044 |  | 349 |
| p=9, q=1, tehát szoros a kapcsolat

|  | 13.3.2. Rangkorreláció
| Ha lehetőségünk van minőségi ismérvek kvantitatív jellemzésére oly módon, hogy az ismérvváltozatokat rangsoroljuk, akkor a rangsor már alkalmas a két minőségi ismérv sztochasztikus kapcsolatának elemzésére.
| Ezt a korrelációs együtthatót rangsorkorrelációs vagy Spearman-féle korrelációs együtthatónak nevezzük.
| r r =1− 6 ∑ D i 2 n( n 2 −1) D i 2 = ( x i − y i ) 2
| ahol Di=xi-yi n: pedig az elemek száma

|  | Bemutató feladat
| Arra keressük a választ, hogy a tehenek fejéskori és etetéskori viselkedése között (nyugtalanság) van-e valamilyen összefüggés.
Sorszám | Fejés alatti nyugtalanság | Etetéskori nyugtalanság | D | D 2
1 | 5 | 4 | 1 | 1
2 | 6 | 8 | -2 | 4
3 | 10 | 7 | 3 | 9
4 | 9 | 9 | 0 | 0
5 | 1 | 2 | -1 | 1
6 | 2 | 1 | 1 | 1
7 | 3 | 5 | -2 | 4
8 | 7 | 6 | 1 | 1
9 | 8 | 10 | -2 | 4
10 | 4 | 3 | 1 | 1
Össz. |  |  |  | 26
| r r =1− 6 ∑ D i 2 n( n 2 −1)
| r r =1− 6*26 10( 10 2 −1) =0,84 , a tehenek fejéskori és etetéskori viselkedése között szoros az összefüggés.

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Válassza ki a 3 helyes választ úgy, hogy egy igaz állítást kapjunk! Sztochasztikus kapcsolatnak nevezzük az olyan összefüggés, amikor
| két jelenség egymásra hatással van,
| egyik jelenség egy másik jelenségre hatással van,
| de az egyik jelenség nem határozza meg egyértelműen a másik jelenség alakulását,
| és az egyik jelenség egyértelműen meghatározza a másik jelenség alakulását,
| mert a másik jelenségre egyéb tényezők nem hatnak.
| mert a másik jelenségre egyéb tényezők is hatással vannak.
| 2. Jelölje meg a helyes választ!
| A Yule-féle assziciációs együttható több ismérv esetén is használható.
| A Yule-féle assziciációs együttható alternatív ismérvek esetén használható.
| 3. A rangkorrelációs együttható segítségével
| mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot jellemezhetünk.
| minőségi ismérvek közötti kapcsolatot jellemezhetünk.
| területi ismérvek közötti kapcsolatot jellemezhetünk.
| 4. Az előjelkorreláció...
| az értékek átlagtól való eltérését mutatja
| az értékek átlagtól való eltérésének előjele alapján számolható.
| 5. Egy városban terjesztett időszaki lapok megoszlása 2005-ben
Terjesztés módja | Napilapok | Hetilapok | Összesen
Árusítás | 98 | 75 | 173
Előfizetés | 86 | 27 | 113
Összesen | 184 | 102 | 286
| 5/a. Állapítsa meg a Yule-féle asszociációs együttható értékét! A számítást 3 tizedesjegy pontossággal végezze! Yule-féle asszociációs együttható:
| 6. Egy vállalkozás 4 különböző (A, B, C, D) telephelyének azonos termékeiből 300 darabot vizsgáltak meg és ezeket osztályokba sorolták. A vizsgálat eredménye a következő:
Minőség | telephelyek | összesen
A | B | C | D
I. osztályú | 125 | 44 | 32 | 24 | 225
II. osztályú | 7 | 5 | 19 | 44 | 75
Összesen | 132 | 49 | 51 | 68 | 300
| Döntse el, hogy melyik mutatót lehet kiszámítani, és állapítsa meg, van-e kapcsolat a termék gyártási helye és minősége között!
| A feladat megoldása érdekében először az alábbi tábla alapján írja be a megfelelő adatot a megadott mezőbe!
| Számított adatok (függetlenség feltételezése melletti elméleti adatok)
Minőség | telephelyek | összesen
A | B | C | D
I. osztályú | a |
II. osztályú |
Összesen |
| 6/a. Milyen szám kerül a táblázatban az "a"-val jelölt cellába?
| 7
| 25
| 99
| 104
| A kapcsolatot jellemző mutatóhoz szükséges adatok:
Minőség | Telephelyek | összesen
A | B | C | D
I. osztályú | a |  |  |  |
II. osztályú |  |  |  |  |
Összesen |  |  |  |  | 94,3
| 6/b. Milyen adat kerül a táblában az "a"-val jelölt cellába?
| 0,23
| 6,8
| 6,7
| 7,3
| 6/c. Számítsa ki a kapcsolatot jellemző Csuprov-féle asszociációs együttható értékét! (2 tizedesjegy pontossággal)
| 0,12
| 0,22
| 0,43
| 0,45
| 7. Egy város vendéglátóhelyeit csoportosítottuk aszerint, hogy milyen szolgáltatást nyújtanak. Az üzletek éves forgalmi adatai millió Ft-ban a következők:
| Étterem | Vendéglő | Kávézó
1. | 20,8 | 11,4 | 15,2
2. | 3,8 | 7,4 | 7,0
3. | 19,4 | 0,2 | 14,4
4. | 12,2 | 1,6 | 1,2
5. | 1,4 | 9,6 | 7,6
6. | 4,6 | 3,8 | 0,4
7. | 15,2 | 8,6 | 11,6
8. | 9,0 | 10, | -
9. | 4,0 | - | -
10. | 11,8 | - | -
Átlag | 10,220 | 6,575 | 8,200
szórás | 6,4668 | 3,9057 | 5,4856
| 7/a. Számítsa ki az előző feladatból a következőket! Az átlagot 3 tizedesjeggyel, a szórásokat pedig 4 tizedesjegy pontossággal! Vendéglátó ipari egységek átlagos forgalma millió Ft. A sokaság szórás millió Ft A belső szórás millió Ft A külső szórás millió Ft.
| 7/b. Állapítsa meg a kapcsolat szorosságát kifejező mutató értékét! (3 tizedesjegy pontossággal). A H mutató
| 7/c. Állapítsa meg a befolyásolás mértékét kifejező mutató értékét! (2 tizedesjegy pontossággal). A H2 mutató %
| 8. Az ősziárpa-termesztéssel kapcsolatos kísérletek során megvizsgálták a felhasznált vetőmag mennyisége és a termésmennyiség közötti összefüggést.
Vetőmag mennyisége (kg/ha) | Termés mennyisége (t/ha)
240 | 4,75
180 | 4,40
280 | 4,80
210 | 4,60
220 | 4,65
190 | 4,45
310 | 4,80
255 | 4,80
295 | 4,82
230 | 4,70
| Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! A számításokat a vetőmag felhasználásnál egészszámmal, a korrelációnál 1 tizedesjegy pontossággal adja meg! Az átlagos vetőmag felhasználás kg/ha. Az átlagtermés t/ha A korrelációs együttható értéke:
| 9. Tíz ország egy főre jutó GDP-je és az ezer lakosra jutó személygépkocsik száma az alábbi.
1 főre jutó GDP alapján a rangsor | 100 lakosra jutó személygépkocsik száma alapján a rangsor
1. | 2
2. | 3
3. | 5
4. | 1
5. | 4
6. | 9
7. | 6
8. | 8
9. | 10
10. | 7
| Állapítsa meg a korrelációs együttható értékét! A számítást 4 tizedesjegy pontossággal végezze! A korrelációs együttható: